Question

5．一個(gè)圓錐的底面半徑為2cm，高為4cm，其中有一個(gè)高為xcm的內(nèi)接圓柱：
（1）求圓錐的側(cè)面積；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱側(cè)面積最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意，求出圓錐的母線長(zhǎng)，即可求圓錐的側(cè)面積；
（2）根據(jù)軸截面和比例關(guān)系列出方程，求出圓柱的底面半徑，表示出圓柱的側(cè)面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出側(cè)面面積的最大值．

解答 解：（1）圓錐的母線長(zhǎng)$l=\sqrt{{R^2}+{h^2}}=\sqrt{{2^2}+{4^2}}=2\sqrt{5}$
∴圓錐側(cè)面積S₁=πRl=4$\sqrt{5}$cm²；（6分）
（2）設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r，由圖形特征知，$\frac{x}{4}=\frac{2-r}{2}$，∴x=4-2r（8分）
圓柱側(cè)面積S=2πrx=2r（4-2r）π=（-4r²+8r）π=-4（r-1）²π+4π（cm²）
∴r=1，即x=2時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大為4πcm²．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積，關(guān)鍵是利用軸截面，求出長(zhǎng)度之間的關(guān)系式，表示出面積后利用函數(shù)的思想求出最值，考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想．