Question

17．如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，他們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ，則cosθ的最大值為$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 首先以AB，AD，AQ三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，M（0，y，2），從而可求出向量$\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{AF}$的坐標(biāo)，由cosθ=$|cos＜\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{AF}＞|$得到$cosθ=\frac{2-y}{\sqrt{5}•\sqrt{{y}^{2}+5}}$，對(duì)函數(shù)$\frac{2-y}{\sqrt{5}•\sqrt{{y}^{2}+5}}$求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可判斷該函數(shù)為減函數(shù)，從而求出cosθ的最大值．

解答 解：根據(jù)已知條件，AB，AD，AQ三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，則：
A（0，0，0），E（1，0，0），F(xiàn)（2，1，0）；
M在線段PQ上，設(shè)M（0，y，2），0≤y≤2；
∴$\overrightarrow{EM}=（-1，y，2），\overrightarrow{AF}=（2，1，0）$；
∴cosθ=$|cos＜\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{AF}＞|$=$\frac{2-y}{\sqrt{{y}^{2}+5}•\sqrt{5}}$；
設(shè)f（y）=$\frac{2-y}{\sqrt{{y}^{2}+5}•\sqrt{5}}$，$f′（y）=\frac{-2y-5}{\sqrt{5}（{y}^{2}+5）\sqrt{{y}^{2}+5}}$；
函數(shù)g（y）=-2y-5是一次函數(shù)，且為減函數(shù)，g（0）=-5＜0；
∴g（y）＜0在[0，2]恒成立，∴f′（y）＜0；
∴f（y）在[0，2]上單調(diào)遞減；
∴y=0時(shí)，f（y）取到最大值$\frac{2}{5}$．
故答案為：$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決異面直線所成角的問題，異面直線所成角的概念及其范圍，向量夾角的概念及其范圍，以及向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．