Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)，且時，證明不等式．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)后求出斜率，點斜式即可求出答案；

（2）求導(dǎo)得，分和討論，借助導(dǎo)數(shù)即可求出單調(diào)性；

（3）當(dāng)時，，令，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得時，，對任意正整數(shù)，取，有，利用裂項相消法即可證明．

解：（1）當(dāng)時，，

∴，故切線的斜率為2，

∴函數(shù)的圖象在點處的切線方程為；

（2），

當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，解得，，

①當(dāng)時，，，

令，解得，令，解得，

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

②當(dāng)時，，

令，解得或，令，解得，

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

在，上單調(diào)遞增；

（3）證明：當(dāng)時，，

令，

在區(qū)間上恒為正，

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

當(dāng)）時，，

∴當(dāng)時，，

即，對任意正整數(shù)，取，有，

∴

．