【題目】已知函數(shù).

（1）證明：函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，求的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）求解出導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理說明在上存在唯一的零點(diǎn)即可；

（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，判斷出的單調(diào)性，從而可確定，利用以及的單調(diào)性，可確定出之間的關(guān)系，從而的值可求.

（1）證明：∵，∴.

∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.

又，令，，

則在上單調(diào)遞減，，故.

令，則

所以函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn).

（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.

函數(shù)在上單調(diào)遞增.

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

∴.

由（*）式得.

∴，顯然是方程的解.

又∵是單調(diào)遞減函數(shù)，方程有且僅有唯一的解，

把代入（*）式，得，∴，即所求實(shí)數(shù)的值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，判斷在上的單調(diào)性并加以證明；

（2）若，，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有件產(chǎn)品，其中件是次品，其余都是合格品，現(xiàn)不放回的從中依次抽件.求：（1）第一次抽到次品的概率；

（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；

（3）在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率.

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【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，是棱中點(diǎn).

（1）已知點(diǎn)在棱上，且平面平面，試確定點(diǎn)的位置并說明理由；

（2）設(shè)點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，直線與平面所成角最大？并求最大角的正弦值.

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【題目】已知，為拋物線上的相異兩點(diǎn)，且.

（1）若直線過，求的值；

（2）若直線的垂直平分線交軸與點(diǎn)，求面積的最大值.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）分別寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)，且時(shí)，證明不等式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】記無窮數(shù)列的前n項(xiàng)，，…，的最大項(xiàng)為，第n項(xiàng)之后的各項(xiàng)，，…的最小項(xiàng)為，．

（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，寫出，，；

（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，判斷是否為等差數(shù)列，若是，求出公差；若不是，請說明理由；

（3）若數(shù)列為公差大于零的等差數(shù)列，求證：是等差數(shù)列．

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