(本小題滿分15分)

已知定點A、B間的距離為2，以B為圓心作半徑為2的圓，P為圓上一點，線段AP的垂直平分線l與直線PB交于點M，當P在圓周上運動時，點M的軌跡記為曲線C．

(1)建立適當?shù)淖鴺讼�，求曲線C的方程，并說明它是什么樣的曲線；

(2)試判斷l(xiāng)與曲線C的位置關系，并加以證明．

                    

解 (1)以AB中點為坐標原點，直線AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(－1,0)，B(1,0).                                    

設M(x, y),由題意：|MP|=|MA|,  |BP|=2，所以 |MB|+|MA|=2.

故曲線C是以A、B為焦點，長軸長為2的橢圓，其方程為x2+2y2=2.            

(2)直線l與曲線C的位置關系是相切.

證法一：由(1)知曲線C方程為x2+2y2=2，

設P(m, n)，則P在⊙B上，故(m－1)2+n2=8，  即m2+n2=7+2m.                   

當P、A、B共線時，直線l的方程為x=±，顯然結論成立. 

當P、A、B不共線時，直線l的方程為：,整理得，                           

把直線l的方程代入曲線C方程得：，

整理得  

 ∴直線l與曲線C相切.(說明：以A或B為原點建系亦可)

證法二：在直線l上任取一點，連結，由垂直平分線的性質得，                   

∴ (當且僅當M、重合時取“=”號)

∴直線l與橢圓C有且僅有一個公共點M.　　　　　　　　　　結論得證

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（本小題滿分15分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若，試分別解答以下兩小題.

（�。┤舨坏仁�對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（ⅱ）若是兩個不相等的正數(shù)，且，求證：．

 

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(本小題滿分15分)．

已知、分別為橢圓：的

上、下焦點，其中也是拋物線：的焦點，

點是與在第二象限的交點，且。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知點P（1，3）和圓：，過點P的動直線與圓相交于不同的兩點A，B，在線段AB取一點Q，滿足：，（且）。求證：點Q總在某定直線上。

 

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(本小題滿分15分)

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（Ⅰ）若，且，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若求的最大值和最小值。

 

 

 

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（Ⅰ）判斷函數(shù)是否為“優(yōu)美函數(shù)”？若是，求出；若不是，說明理由；

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（1）第1次抽到理科題的概率；

（2）第1次和第2次都抽到理科題的概率；

（3）在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到文科題的概率

 

 

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