Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若曲線和曲線有三個(gè)公共點(diǎn)，求以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積.

Answer 1

【答案】（1）,（2）16

【解析】分析: （Ⅰ）利用參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的方法，可得曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）曲線和曲線都是關(guān)于軸對(duì)稱的圖形，它們有三個(gè)公共點(diǎn)，所以原點(diǎn)的它們其中的一個(gè)公共點(diǎn)，從而可確定，進(jìn)而得到三角形的面積.

詳解: （Ⅰ）曲線 （為參數(shù)），消去參數(shù)，得曲線的普通方程為：，

曲線 ，即，化為直角坐標(biāo)方程為．

（Ⅱ）因?yàn)榍�線和曲線都是關(guān)于軸對(duì)稱的圖形，它們有三個(gè)公共點(diǎn)，所以原點(diǎn)的它們其中的一個(gè)公共點(diǎn)，將原點(diǎn)代入中得：（舍去），此時(shí)，曲線方程為，曲線和曲線的三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，易得這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為．

點(diǎn)睛: 參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式， 等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，本題這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程，用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問題．