Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F，G分別為線段BC，PB，AD的中點(diǎn)．

（1）證明：EF∥平面PAC；

（2）證明：平面PCG∥平面AEF；

（3）在線段BD上找一點(diǎn)H，使得FH∥平面PCG，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析 （3）見解析

【解析】

（1）證明，EF∥平面PAC即得證；（2）證明AE∥平面PCG，EF∥平面PCG，平面PCG∥平面AEF即得證；（3）設(shè)AE，GC與BD分別交于M，N兩點(diǎn)，證明N點(diǎn)為所找的H點(diǎn)．

（1）證明：∵E、F分別是BC，BP中點(diǎn)，

∴，

∵PC平面PAC，EF平面PAC，

∴EF∥平面PAC．

（2）證明：∵E、G分別是BC、AD中點(diǎn)，

∴AE∥CG，

∵AE平面PCG，CG平面PCG，

∴AE∥平面PCG，

又∵EF∥PC，PC平面PCG，EF平面PCG，

∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E點(diǎn)，AE，EF平面AEF，

∴平面AEF∥平面PCG．

（3）設(shè)AE，GC與BD分別交于M，N兩點(diǎn)，易知F，N分別是BP，BM中點(diǎn)，

∴，

∵PM平面PGC，FN平面PGC，

∴FN∥平面PGC，

即N點(diǎn)為所找的H點(diǎn)．