Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=2，點D為AC的中點，A₁D⊥平面ABC，A₁B⊥AC_l
（I）求證：AC₁⊥A_lC； 
（Ⅱ）求二面角A-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）要證AC₁⊥A_lC，可證AC₁⊥平面A₁BC，只證AC₁⊥A₁B（已知），AC₁⊥BC，由A₁D⊥平面ABC及∠ACB=90°可證BC⊥平面AA₁C₁C，從而問題得證；
（Ⅱ）取AB的中點E，連接DE，則DE∥BC，由題意可分別以DE，DC，DA₁為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系Dxyz，由（I）可知

AC1

是平面A₁BC的一個法向量，設(shè)

m

=(x，y，z)是平面A₁AB的一個法向量，由法向量定義可求得

m

，從而二面角A-A₁B-C的余弦值可轉(zhuǎn)化為兩法向量的夾角余弦值解決，注意二面角的范圍；

解答：證明：（I）∵A₁D⊥平面ABC，∴平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面AA₁C₁C，∴BC⊥AC₁，
又A₁B⊥AC₁，∴AC₁⊥平面A₁BC，
∴AC₁⊥A₁C；
解：（Ⅱ）取AB的中點E，連接DE，則DE∥BC，
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC，
又A₁D⊥平面ABC，∴A₁D⊥AC，A₁D⊥DE，
分別以DE，DC，DA₁為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系Dxyz，
由題意得A（0，-1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），
由（I）得A₁C⊥AC₁，則A1(0，0，

3

)，C1(0，2，

3

)，
∴

AC1

=（0，3，

3

），

AB

=（2，2，0），

AA1

=（0，1，

3

），
由（I）可知，

AC1

=(0，3，

3

)是平面A₁BC的一個法向量，
設(shè)

m

=(x，y，z)是平面A₁AB的一個法向量，
則

m • AB =2x+2y=0 m • AA1 =y+ 3 z=0

，
令z=1，則

m

=(

3

，-

3

，1)，
所以cos＜

m

，

AC1

＞=

m • AC1

| m || AC1 |

=-

7

7

，
所以二面角A-A₁B-C的余弦值為

7

7

．

點評：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)、用空間向量求空間角，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力．