已知數(shù)列{bn}滿足條件：首項b1=1，前n項之和Bn=數(shù)學公式．
（1）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）設數(shù)列{an}的滿足條件：an=（1+數(shù)學公式） an-1，且a1=2，試比較an與數(shù)學公式的大小，并證明你的結(jié)論．

解：（1）當n＞1時，bn=Bn-Bn-1
=-=3n-2
令n=1得b1=1，
∴bn=3n-2．（5分）
（2）由an=（1+）an-1，得
∴an=
由a1=2，bn=3n-2知，
an=（1+）（1+）（1+）2
=（1+1）（1+）（1+）
又==，（5分）
設cn=，
當n=1時，有（1+1）=＞
當n=2時，有an=（1+1）（1+）=
=＞==cn
假設n=k（k≥1）時an＞cn成立，
即（1+1）（1+）（1+）＞成立，
則n=k+1時，
左邊═（1+1）（1+）（1+）（1+）
＞（1+）=（3分）
右邊=ck+1==
由（ak+1）3-（ck+1）3=（3k+1）-（3k+4）
=
=＞0，得ak+1＞ck+1成立．
綜合上述，an＞cn對任何正整數(shù)n都成立．（3分）
分析：（1）由bn=Bn-Bn-1=-=3n-2，能得到數(shù)列{bn}的通項公式．
（2）由an=（1+）an-1，得，an=，由a1=2，bn=3n-2知，an=（1+）（1+）（1+）2=（1+1）（1+）（1+），由此入手，利用數(shù)學歸納法能夠證明an＞．
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要注意數(shù)列遞推公式的合理運用，合理地運用數(shù)學歸納法進行證明．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，a3=8，前3項的和S3=14
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）已知數(shù)列{bn}滿足
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
=
n
2n
（n∈N*），證明：{bn}是等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{bn}滿足b1=1，b2=5，bn+1=5bn-6bn-1（n≥2），若數(shù)列{an}滿足a1=1，an=bn(
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
)(n≥2，n∈N*)
（1）求證：數(shù)列{bn+1-2bn}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）求證：(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)＜3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{}an中，如果存在常數(shù)T（T∈N*），使得an+T=an對于任意正整數(shù)n均成立，那么就稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{an]的周期．已知數(shù)列{bn}滿足bn+2=|bn+1-bn|，若b1=1，b2=a，（a≤1，a≠0）當數(shù)列{bn}的周期為3時，則數(shù)列{bn}的前2010項的和S2010等于（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x
1+x
．設數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f（an）（n∈N+）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）已知數(shù)列{bn}滿足b1=
1
2
，bn+1=(1+bn)2f(bn)(n∈N+)，求證：對一切正整數(shù)n≥1都有
1
a1+b1
+
1
2a2+b2
+…+
1
nan+bn
＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x
1-x
(0＜x＜1)的反函數(shù)為f-1（x）．設數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f-1（an）（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）已知數(shù)列{bn}滿足b1=
1
2
，bn+1=(1+bn)2•f-1(bn)，求證：對一切正整數(shù)n≥1都有
1
a1+b1
+
1
2a2+b2
+…+
1
nan+bn
＜2．

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