Question

在△ABC中，角A，B，C分別對應(yīng)邊a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，且cosB=

3

4

．
（1）若

BA

•

BC

=

3

2

，求a+c的值；  
（2）求

1

tanA

+

1

tanC

的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,余弦定理

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的求值,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和等比數(shù)列的性質(zhì)，可得b²=ac=2，再由余弦定理，計算即可得到a+c=3；
（2）由同角的平方關(guān)系和等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理，可得sin²B=sinAsinC，再由切化弦和兩角和的正弦公式，計算即可得到．

解答： 解：（1）由

BA

•

BC

=

3

2

，得accosB=

3

2

，
因cosB=

3

4

，則ac=2，
由a，b，c成等比數(shù)列，則b²=ac=2，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得
a²+c²=b²+2accosB=5，
于是（a+c）²=a²+c²+2ac=5+4=9，
故a+c=3；
（2）由cosB=

3

4

得sinB=

1- 9 16

=

7

4

，
由b²=ac得sin²B=sinAsinC，
則

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

cosAsinC+sinAcosC

sinAsinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sin2B

=

1

sinB

=

4 7

7

．

點評：本題考查向量的數(shù)量積的定義和等比數(shù)列的性質(zhì)，主要考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，以及三角函數(shù)的恒等變換，掌握同角公式和兩角和的正弦公式是解題的關(guān)鍵．