【題目】已知.
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若(其中為自然對數(shù)的底數(shù)),且恒成立,求的最大值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)對函數(shù)求導(dǎo),對分成兩類,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值,并令這個最大值小于或等于零,由此得到,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值,進(jìn)而求得的最大值.
解:(1) 由,得
(。┊(dāng)時,恒成立,在上單調(diào)遞增;
(ⅱ)當(dāng)時,解得,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,
當(dāng)時,,單調(diào)遞減。
(2)當(dāng)時,,
令,則,
由(1)可知,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,不合題意;
當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
當(dāng)時取得最大值。
所以恒成立,即,整理得
即, 。
令,,
令,,解得,
當(dāng)時,, 單調(diào)遞增;當(dāng)時,, 單調(diào)遞減;
當(dāng)時取得最大值為,
因為當(dāng)時,, 然而,
∴當(dāng)時,恒成立,當(dāng)時恒成立,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,即函數(shù)的最大值為,所以的最大值為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中,假命題的是( )
A.一條直線與兩個平行平面中的一個相交,則必與另一個平面相交.
B.平行于同一平面的兩條直線一定平行.
C.如果平面不垂直于平面,那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面.
D.若直線不平行于平面,且不在平面內(nèi),則在平面內(nèi)不存在與平行的直線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了名觀眾進(jìn)行調(diào)查,其中女性有名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖:
將日均收看該體育節(jié)目時間不低于分鐘的觀眾稱“體育述”,已知“體育迷”中名女性.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?
非體育迷 | 體育迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | |||
合計 |
(2)將日均收看該體育項目不低于分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”,已知“超級體育述”中有名女性,若從“超級體育述”中任意選取人,求至少有名女性觀眾的概率.
附: ,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,是等邊三角形,是等腰直角三角形, ,平面平面,平面.
(1) 求證:;
(2) 若,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:)和使用了節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下:
未使用節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表
日用水量 | |||||||
頻數(shù) |
使用了節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表
日用水量 | ||||||
頻數(shù) |
(Ⅰ)作出使用了節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;
(Ⅱ)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水?(一年按天計算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校在年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取名學(xué)生的筆試成績,按成績分組:第組,第組,第組,第組,第組得到的頻率分布直方圖如圖所示
分別求第組的頻率;
若該校決定在第組中用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,
已知學(xué)生甲和學(xué)生乙的成績均在第組,求學(xué)生甲和學(xué)生乙同時進(jìn)入第二輪面試的概率;
根據(jù)直方圖試估計這名學(xué)生成績的平均分.(同一組中的數(shù)據(jù)用改組區(qū)間的中間值代表)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體是由棱臺 和棱錐拼接而成的組合體,其底面四邊形是邊長為 的菱形,且 , 平面 , .
(1)求證:平面 平面 ;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,右焦點為,左頂點為A,右頂點B在直線上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點P是橢圓C上異于A,B的點,直線交直線于點,當(dāng)點運動時,判斷以為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系,并加以證明.
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