已知f（n）=（2n+7）•3n+9，是否存在自然數(shù)m使得任意的n∈N*，都有m整除f（n）？若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由．
考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理
專題：推理和證明
分析：由已知中f（n）=（2n+7）•3n+9，求出f（1），f（2），f（3），可猜想：f（n）能被36整除，進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法可證明得到結(jié)論．
解答： 解：∵f（n）=（2n+7）•3n+9，
∴f（1）=36，f（2）=108，f（3）=360，
猜想：f（n）能被36整除，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N*）時(shí)結(jié)論成立，
即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
f（k+1）=（2k+9）•3k+1+9=3[（2k+7）•3k+9]+18（3k-1-1），
由假設(shè)知3[（2k+7）•3k+9]能被36 整除，
又3k-1-1是偶數(shù)，
故18（3k-1-1）也能被36 整除．
即n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
故由（1）（2）可知，對(duì)任意正整數(shù)n都有f（n）能被36整除．
由f（1）=36知36是整除f（n）的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理與數(shù)列歸納法，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（1，1）的距離與P到該拋物線焦點(diǎn)的距離之和的最小值為（　�。�
A、4B、3C、2D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosx-
3
sin2x+2sin（x+
π
3
）cosx．
（1）求f（x）的周期；
（2）求f（x）的遞減區(qū)間；
（3）說明f（x）的圖象可由y=sin2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n∈N+，點(diǎn)（n，Sn）均在函數(shù)y=bx-1（b＞0且b≠1，b均為常數(shù)）的圖象上．
（1）求證：{an}是等比數(shù)列；
（2）當(dāng)b=2時(shí)，記bn=
n+1
4an
（n∈N+），證明：數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＜
3
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=a（a∈N*），Sn=pan+1（p≠0，p≠-1，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意k∈N*，若將ak+1，ak+2，ak+3按從小到大的順順序排列后，此三項(xiàng)均能構(gòu)成等差數(shù)列，且記公差為dk．
（i）求p的值以及數(shù)列{dk}的通項(xiàng)公式；
（ii）記數(shù)列{dk}的前k項(xiàng)和為Sk，問是否存在正整數(shù)a，使得Sk＜30恒成立，若存在，求出a的最大值；若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
1-x
1+x
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[-
1
2
，
1
2
]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x），求函數(shù)g（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=mlnx-
1
2
x（m∈R），g（x）=2cos2x+sinx+a．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
〔Ⅱ）當(dāng)m=
1
2
時(shí)，對(duì)于任意x1∈[
1
e
，e]，總存在x2∈[0，
π
2
]，使得f（x1）≤g（x2）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=
1
2
，且an+1=
an
3an+1
（n∈N+）．
（1）證明數(shù)列{
1
an
}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=anan+1（n∈N+），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和記為Tn，證明：Tn＜
1
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某個(gè)服裝店經(jīng)營(yíng)某種服裝，在某周內(nèi)獲純利y（元），與該周每天銷售這種服裝件數(shù)x之間的一組數(shù)據(jù)關(guān)系見表：
x3456789
y66697381899091
已知
7
i-1
xi2=280，
7
i-1
yi2=45309，
7
i-1
xiyi=3487．
（1）求
.
x
，
.
y
；參考公式：
b
=
n
i-1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i-1
(xi-
.
x
)2
=
n
i-1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i-1
xi2-nx-2
，
a
=
.
y
-
b
.
x

（2）畫出散點(diǎn)圖；
（3）判斷純利y與每天銷售件數(shù)x之間是否線性相關(guān)，如果線性相關(guān)，求出回歸方程．

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