Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，且a_n+1=

an

3an+1

（n∈N₊）．
（1）證明數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_na_n+1（n∈N₊），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和記為T_n，證明：T_n＜

1

6

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由

1

an+1

=

3an+1

an

=

1

an

+3，利用定義能證明{

1

an

}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列．從而求出an=

1

3n-1

．
（2）b_n=a_na_n+1=

1

(3n-1)(3n+2)

=

1

3

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明T_n＜

1

6

．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，且a_n+1=

an

3an+1

（n∈N₊），
∴

1

an+1

=

3an+1

an

=

1

an

+3，
∴

1

an+1

-

1

an

=3，又

1

a1

=2，
∴{

1

an

}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列．
∴

1

an

=2+（n-1）×3=3n-1，
∴an=

1

3n-1

．
（2）b_n=a_na_n+1=

1

(3n-1)(3n+2)

=

1

3

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，
∴T_n=

1

3

(

1

2

-

1

5

+

1

5

-

1

8

+…+

1

3n-1

-

1

3n+2

)
=

1

3

(

1

2

-

1

3n+2

)
=

1

6

-

1

3(3n+2)

＜

1

6

．
∴T_n＜

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．