Question

△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B(-

1

2

，0)，C(

1

2

，0)，且滿足sinC-sinB=

1

2

sinA，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是（　　）

• A、16x2-

  16

  3

  y2=1(y≠0)
• B、16y2-

  16

  3

  x2=1(x≠0)
• C、16x2-

  16

  3

  y2=1(x＜-

  1

  4

  )
• D、16x2-

  16

  3

  y2=1(x＞

  1

  4

  )

Answer 1

分析：由題設(shè)條件，根據(jù)正弦定理，可以得到AB-AC=

1

2

BC=

1

2

，也就是說(shuō)A到定點(diǎn)B、C的距離之差是常數(shù)，所以A的軌跡是一條雙曲線的右支，焦點(diǎn)為B、C，c=

1

2

，c-b=

1

2

=2a，a=

1

4

，由此能求出其軌跡方程．

解答：解：由sinC-sinB=

1

2

sinA，
根據(jù)正弦定理，可以得到AB-AC=

1

2

BC，
∵B(-

1

2

，0)，C(

1

2

，0)，
∴BC=1，所以AB-AC=

1

2

BC=

1

2

，
也就是說(shuō)A到定點(diǎn)B、C的距離之差是常數(shù)，
所以A的軌跡是一條雙曲線，焦點(diǎn)為B、C，
所以c=

1

2

，c-b=

1

2

=2a，所以a=

1

4

，
∵AB-AC=

1

2

BC=

1

2

，∴A的軌跡是雙曲線的右支，
∴方程為16x²-

16

3

y2=1(x＞

1

4

)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用．