Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC=1，AB=2，F(xiàn)為CE的中點，
（Ⅰ）求證：AE∥平面BDF；
（Ⅱ）求證：平面BDF⊥平面ACE；
（Ⅲ）求四棱錐E-ABCD的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）設AC∩BD=G，連接FG，由題意知G是AC的中點，由已知得FG∥AE，由此能證明AE∥平面BFD．
（Ⅱ）由已知得BC⊥平面ABE，BC⊥AE，從而AE⊥平面BCE，進而AE⊥BF．再由BF⊥CE，得BF⊥平面ACE，由此能證明平面BDF⊥平面ACE．
（Ⅲ）設E到平面ABCD的距離為h，則h是△ABE的高，由等積法求出h=

3

2

，由此能求出四棱錐E-ABCD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：設AC∩BD=G，連接FG，由題意知G是AC的中點，
∵F是EC中點，由三角形中位線的性質可得 FG∥AE，
∵AE?平面BFD，F(xiàn)G?平面BFD，
∴AE∥平面BFD．
（Ⅱ）證明：∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE=AB，∴BC⊥平面ABE，
又∵AE?平面ABE，∴BC⊥AE，
又∵AE⊥BE，BC∩BE=B，
∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BF．
在△BCE中，BE=CB，F(xiàn)為CE的中點，
∴BF⊥CE，AE∩CE=E，∴BF⊥平面ACE，
又BF?平面BDF，∴平面BDF⊥平面ACE．
（Ⅲ）解：∵底面ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，
∠AEB=90°，BE=BC=1，AB=2，F(xiàn)為CE的中點，
∴AE=

4-1

=

3

，
設E到平面ABCD的距離為h，則h是△ABE的高，
∴

1

2

×2h=

1

2

×

3

×1，解得h=

3

2

，
∴四棱錐E-ABCD的體積：
V=

1

3

×S矩形ABCD×h=

1

3

×2×1×

3

2

=

3

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查四棱錐體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．