Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+1，(x≤0) log2x，(x＞0)

，若函數(shù)y=f（f（x））+1有4個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：數(shù)形結(jié)合,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)y=f[f（x）]+1的零點個數(shù)，即為方程f[f（x）]=-1的解的個數(shù)，結(jié)合函數(shù)f（x）圖象，分類討論判斷，求解方程可得答案．

解答： 解：函數(shù)y=f（f（x））+1的零點，
即方程f[f（x）]=-1的解個數(shù)，
（1）當(dāng)a=0時，f（x）=

1，x≤0 log2x，x＞0

，

當(dāng)x＞1時，x=

2

，f（f（x））=-1成立，∴方程f[f（x）]=-1有1解
當(dāng)0＜x＜1，log₂x＜0，∴方程f[f（x）]=-1無解，
當(dāng)x≤0時，f（x）=1，f（f（x））=0，∴，∴f（f（x））=-1有1解，
故a=0不符合題意，
（2）當(dāng)a＞0時，

當(dāng)x＞1時，x=

2

，f（f（x））=-1成立，
當(dāng)0＜x＜1，log₂x＜0，∴方程f[f（x）]=-1有1解，
當(dāng)

1

a

＜x≤0時，0＜f（x）≤1，∴f（f（x））=-1有1解，
當(dāng)x≤-

1

a

時，f（x）＜0，∴f（f（x））=-1有1解，
故，f（f（x））=-1有4解，
（3）當(dāng)a＜0時，

當(dāng)x＞1時，x=

2

，f（f（x））=-1成立，∴f（f（x））=-1有1解，
當(dāng)0＜x≤1時，f（x）≤0．f（f（x））=-1，成立∴f（f（x））=-1有1解，
當(dāng)x≤0時，f（x）≥1，f（f（x））=-1，成立∴f（f（x））=-1有1解，
故f（f（x））=-1有3解，
不符合題意，
綜上；a＞0
故答案為：（0，+∞）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)零點的判定，其中將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題，分類討論求解．