Question

已知向量

a

=（x²+1，p+2），

b

=（3，x），f（x）=

a

•

b

，p是實數．
（1）若存在唯一實數x，使

a

+

b

與

c

=（1，2）平行，試求p的值；
（2）若函數y=f（x）是偶函數，試求函數y=|f（x）-15|在區(qū)間[-1，3]上的值域；
（3）若函數f（x）在區(qū)間[-

1

2

，+∞）上是增函數，試討論方程f（x）+

x

-p=0解的個數，說明理由．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）利用向量共線定理、一元二次方程由實數根與判別式的關系即可得出；
（2）根據f(x)=

a

•

b

=3x2+(p+2)x+3是偶函數，可得-

p+2

6

=0，y=|3x²-12|=

3x2-12，x∈[2，3] 12-3x2，x∈[-1，2)

，利用二次函數的單調性即可得出；
（3）由函數f（x）在區(qū)間[-

1

2

，+∞)上是增函數，根據二次函數的單調性可得：-

p+2

6

≤-

1

2

，解得p≥1，方程f(x)+

x

-p=0，可化為3x2+(p+2)x+3-p=-

x

，記g（x）=3x²+（p+2）x+3-p，利用二次函數的單調性及其函數y=-

x

在[0，+∞）上是減函數，可得當

p≥1 g(0)=3-p＞0

，或
當

p≥1 g(0)=3-p≤0

，解出即可．

解答： 解．（1）∵

a

=(x2+1，p+2），

b

=(3，x），
∴

a

+

b

=(x2+4，x+p+2)，
又∵

a

+

b

與

c

=(1，2)平行，
∴2（x²+4）=x+p+2，
即2x²-x-p+6=0，
由題意知方程2x²-x-p+6=0有兩個相等的實根，
∴△=1-8（6-p）=0，
∴p=

47

8

．
（2）∵f(x)=

a

•

b

=3x2+(p+2)x+3是偶函數，
∴-

p+2

6

=0，∴p=-2，
∴y=|f（x）-15|=|3x²-12|=

3x2-12，x∈[2，3] 12-3x2，x∈[-1，2)

在[-1，3]上的值域是[0，15]．
（3）∵函數f（x）在區(qū)間[-

1

2

，+∞)上是增函數，
∴-

p+2

6

≤-

1

2

，∴p≥1，
方程f(x)+

x

-p=0即3x2+(p+2)x+3+

x

-p=0，
可化為3x2+(p+2)x+3-p=-

x

，
記g（x）=3x²+（p+2）x+3-p，
顯然，函數g（x）與f（x）有相同的單調性，即函數g（x）在[-

1

2

，+∞)上也是增函數，
又∵函數y=-

x

在[0，+∞）上是減函數，
∴當

p≥1 g(0)=3-p＞0

，即1≤p＜3時，原方程無解；
當

p≥1 g(0)=3-p≤0

，即p≥3時，原方程有且僅有一個解．

點評：本題考查了向量的數量積運算、向量共線定理、二次函數的單調性、方程的解轉化為函數圖象的交點、絕對值的意義，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．