Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，側棱SB⊥平面ABCD，且SB=AB=AD=1，BC=2．
（1）求SA與CD成角；
（2）求面SCD與面SAB所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BS為z軸，建立空間直角坐標系，由向量法能求出SA與CD所成角．
（Ⅱ）求出平面SCD的法向量和平面SAB的一個法向量，由此利用向量法能求出面SCD與面SAB所成的銳二面角余弦值．

解答： 解：（Ⅰ） 如圖，以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BS為z軸，
建立空間直角坐標系，
則B（0，0，0），S（0，0，1），A（1，0，0），
C（0，2，0），D（1，1，0），

SA

=（1，0，-1），

CD

=（1，-1，0），
設SA與CD所成角為α，
則cosα=|cos＜

SA

，

CD

＞|=

| SA • CD |

| SA |•| CD |

=

1

2

，
所以SA與CD所成角為60°，
（Ⅱ）

SC

=（0，2，-1），

SD

=（1，1，-1），
設平面SCD的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • SC =2y-z=0 n • SD =x+y-z=0

，令y=1，則

n

=（1，1，2），
又因為BC⊥平面SAB，所以平面SAB的一個法向量為

BC

=（0，2，0），
設面SCD與面SAB所成的銳二面角為θ，
所以面SCD與面SAB所成的銳二面角余弦值為：
cosθ=

| n • BC |

| n |•| BC |

=

2

2 6

=

6

6

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理、平面與平面垂直的性質定理、勾股定理、二面角的求解等基礎知識和空間向量的立體幾何中的應用，意在考查方程思想、等價轉化思想等數(shù)學思想方法和考生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力．