Question

16．已知圓C：（x+1）²+y²=25，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MA，作MA的垂直平分線交半徑MC于P，當(dāng)M點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{25}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{21}{4}}=1$．

Answer 1

分析 根據(jù)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程得到點(diǎn)C（-1，0），半徑R=5．再由線段中垂線定理，可化簡(jiǎn)出PC+PA=5，從而得出點(diǎn)P的軌跡C是以C、A為焦點(diǎn)，2a=5的橢圓．最后根據(jù)橢圓的基本概念，即可得出點(diǎn)P的軌跡對(duì)應(yīng)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：∵圓C方程為：（x+1）²+y²=25，
∴點(diǎn)C（-1，0），半徑R=5，
∵M(jìn)A的垂直平分線交半徑MC于P，
∴PM=PA，可得PC+PA=CM．
∵點(diǎn)M是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，∴CM長(zhǎng)為圓C的半徑5，
∴動(dòng)點(diǎn)P滿足PC+PA=5，點(diǎn)P的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)，2a=5的橢圓．
可得a²=$\frac{25}{4}$，c=1，b²=a²-c²=$\frac{21}{4}$，
∴軌跡的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{25}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{21}{4}}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{25}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{21}{4}}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題借助一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡，得到橢圓的第一定義，進(jìn)而求出其軌跡方程．著重考查了線段的垂直平分線定理和橢圓的基本概念等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．