Question

8．下表是關(guān)于某設(shè)備的使用年限（年）和所需要的維修費(fèi)用y（萬元）的幾組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

（1）請?jiān)诮o出的坐標(biāo)系中畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
（2）請根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷y與x之間是否有較強(qiáng)線性相關(guān)性，若有求線性回歸直線方程$\stackrel{∧}{y}=\stackrel{∧}x+\stackrel{∧}{a}$；
（3）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用為多少？
（參考數(shù)值：$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}=112.3$ $\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}=80$）
（參考公式：$\stackrel{∧}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$；$\stackrel{∧}{a}=\overline{y}-\stackrel{∧}\overline{x}$；）

Answer 1

分析 （1）由題意易得散點(diǎn)圖：
（2）由已知數(shù)據(jù)求出$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=5，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=90，結(jié)合參考數(shù)據(jù)可得$\widehat$和$\widehat{a}$，可得回歸直線方程；
（3）把x=10代入（2）中的方程計(jì)算可得；

解答 解：（1）由題意可得散點(diǎn)圖如圖：
（2）從散點(diǎn)圖可知，變量y與x之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)性．
由已知數(shù)據(jù)有：$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=5，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=90，
又由參考數(shù)據(jù)知$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}=112.3$ 
∴$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}$=1.23，
∴$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=5-1.23×4=0.08，
∴回歸直線方程為$\widehat{y}$=1.23x+0.08；
（3）當(dāng)x=10時(shí)，維修費(fèi)用$\widehat{y}$=1.23×10+0.08=12.38（萬元）

點(diǎn)評 本題考查線性回歸方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題．