Question

已知數列{a_n}，{b_n}滿足：a₁=3b₁=3，a₂=6，b_n+1=2b_n-2ⁿ，b_n=a_n-na_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（I）探究數列是等差數列還是等比數列，并由此求數列{b_n}的通項公式；
（II）求數列{na_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（I）∵b_n+1=2b_n-2ⁿ ，∴b_n+1-2b_n =-2ⁿ ，∴=-．
∴數列{ }構成以為首項，以-為公差的等差數列，∴=- （n-1），
∴b_n= ）．
（II）∵b_n=a_n-na_n-1，∴a_n-2ⁿ=na_n-1-n2^n-1=n（ a_n-1-2^n-1 ），
∴=n，
∴=••…
=n（n-1）（n-2）×…×3×2，又 a₁=3，故 a_n=n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+2ⁿ，
na_n=n×n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+n 2ⁿ=（n+1）!-n!+n 2ⁿ，
∴s_n=（2!-1!）+（3!-2!）+（4!-3!）+…+（（n+1）!-n!）+（1×2+2×2²+…+n2ⁿ ）
=（n+1）!-1+（ 1×2+2×2²+…+n2ⁿ ）．
令T_n=1×2+2×2²+…+n2ⁿ，①則 2T_n=1×2²+2×2³+…+n 2ⁿ⁺¹，②
①-②可得，-T_n=2+2²+2³+…-n 2ⁿ⁺¹，∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴s_n=（n+1）!+（n-1）2ⁿ⁺¹+1．
分析：（I）由條件可得 數列{ }構成以為首項，以-為公差的等差數列，故 =- （n-1），從而得到b_n．
（II）先推出 =n，可得 ═n（n-1）（n-2）×…×3×2，得到na_n=（n+1）!-n!+n 2ⁿ，進而得到 s_n=（n+1）!-1+（ 1×2+2×2²+…+n2ⁿ ）．用錯位相減法求得1×2+2×2²+…+n2ⁿ 的值，即可得到s_n的值．
點評：本題考查等差數列、等比數列的定義、性質，以及求和公式的應用，用錯位相減法進行數列求和，得到=••…，是解題的難點．