Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點斜式得切線方程，求出與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；

（2）解法一：利用導(dǎo)數(shù)研究，得到函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)遞增，當(dāng)a=1時由得,符合題意；當(dāng)a>1時，可證，從而存在零點，使得，得到，利用零點的條件，結(jié)合指數(shù)對數(shù)的運算化簡后，利用基本不等式可以證得恒成立；當(dāng)時，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.

解法二：利用指數(shù)對數(shù)的運算可將,

令,上述不等式等價于,注意到的單調(diào)性，進一步等價轉(zhuǎn)化為，令,利用導(dǎo)數(shù)求得，進而根據(jù)不等式恒成立的意義得到關(guān)于a的對數(shù)不等式，解得a的取值范圍.

（1），，.

，∴切點坐標(biāo)為(1,1+e),

∴函數(shù)f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,

切線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)分別為,

∴所求三角形面積為;

（2）解法一：,

，且.

設(shè),則

∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，,∴,∴成立.

當(dāng)時， ，，,

∴存在唯一，使得，且當(dāng)時，當(dāng)時，，，

因此

>1,

∴∴恒成立；

當(dāng)時， ∴不是恒成立.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).

解法二：等價于

,

令,上述不等式等價于,

顯然為單調(diào)增函數(shù)，∴又等價于，即，

令,則

在上h’(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

∴,

，∴a的取值范圍是[1,+∞).