Question

3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E為PE中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）證明：平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅲ）求EA和平面ABCD所成的角；
（Ⅳ）求二面角E-AC-D的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)BD∩AC=O，則由題意可得OE為△PBD的中位線(xiàn)，故有OE∥PB，根據(jù)直線(xiàn)和平面平行的判定定理證得PB∥平面AEC．
（Ⅱ）證明PA⊥CD，且AD⊥CD，證得CD⊥平面PAD．再利用平面和平面垂直的判定定理證得平面PCD⊥平面PAD．
（Ⅲ）取AD得中點(diǎn)H，證得∠EAH為EA和平面ABCD所成的角．由條件求得tan∠EAH=$\frac{EH}{AH}$=1，可得∠EAH 的值．
（Ⅳ）作HM⊥AC，M為垂足，可得∠EMH為二面角E-AC-D的平面角．再根據(jù)tan∠EMH=$\frac{EH}{HM}$，計(jì)算求的結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）證明：設(shè)BD∩AC=O，則由四邊形ABCD為正方形，可得O為BD的中點(diǎn)，
再根據(jù)E為PE中點(diǎn)，可得OE為△PBD的中位線(xiàn)，故有OE∥PB．
而OE?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC．
（Ⅱ）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又正方形ABCD中，AD⊥CD，
且PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
再根據(jù)CD?平面PCD，可得平面PCD⊥平面PAD．
（Ⅲ）取AD得中點(diǎn)H，則EH是△PAD的中位線(xiàn)，故有EH∥PA．
由PA⊥平面ABCD 可得EH⊥平面ABCD，∴∠EAH為EA和平面ABCD所成的角．
由PA=AB=2，可得EH=1，AH=1，∴tan∠EAH=$\frac{EH}{AH}$=1，∴∠EAH=$\frac{π}{4}$，
即EA和平面ABCD所成的角為$\frac{π}{4}$．
（Ⅳ）作HM⊥AC，M為垂足，由三垂線(xiàn)定理可得EM⊥AC，∠EMH為二面角E-AC-D的平面角．
由于HM=$\frac{1}{2}$DO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴tan∠EMH=$\frac{EH}{HM}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線(xiàn)和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理，直線(xiàn)和平面所成的角、二面角的定義和求法，屬于中檔題．