Question

11．表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x噸與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù)．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖．
（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程．
（3）由（2）預(yù)測技改后生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗是多少噸標準煤？（參考數(shù)值：3*2.5+4*3+5*4+6*4.5=66.5）

Answer 1

分析 （1）把所給的四對數(shù)據(jù)寫成對應(yīng)的點的坐標，在坐標系中描出來，得到散點圖．
（2）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)b的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點代入，求出a的值，得到線性回歸方程．
（3）根據(jù)上一問所求的線性回歸方程，把x=100代入線性回歸方程，即可估計生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗．

解答 解：（1）把所給的四對數(shù)據(jù)寫成對應(yīng)的點的坐標，在坐標系中描出來，得到散點圖．
（2）由對照數(shù)據(jù)，計算得$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=86，$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=66.5，$\overline{x}$=4.5，$\overline{y}$=3.5，
∴回歸方程的系數(shù)為b=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4×4．{5}^{2}}$=0.7，a=0.35，
∴所求線性回歸方程為y=0.7x+0.35
（3）由（2）求出的線性回歸方程，估計生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為0.7×100+0.35=70.35（噸），
∴估計生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為70.35噸．

點評 本題考查線性回歸方程，兩個變量之間的關(guān)系，除了函數(shù)關(guān)系，還存在相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程，就可以根據(jù)其部分觀測值，獲得對這兩個變量之間整體關(guān)系的了解．