Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若PA=AB，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）四邊形ABCD是一條對(duì)角線AC等于邊長(zhǎng)的菱形，從而△ABC為正三角形，BC邊上的中線AE也是高線，聯(lián)系BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影，從而得到AE與PD垂直．
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E-AF-C的余弦值．

解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形．
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，結(jié)合BC∥AD，得AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，
∵PA∩AD=A，且PA?平面PAD，AD?平面PAD
∴AE⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，
∴AE⊥PD；
（2）解：設(shè)PA=AB=2，則由（1）知AE、AD、AP兩兩垂直，
∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，
∴A（0，0，0），B（

3

，-1，0），C（

3

，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（

3

，0，0），F(xiàn)（

3

2

，

1

2

，1），
∴

AE

=（

3

，0，0），

AF

=（

3

2

，

1

2

，1），
設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為

m

=（x，y，z），
則

3 x=0 3 2 x+ y 2 +z=0

取z₁=-1，得

m

=（0，2，-1），
∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，
∴

BD

=（-

3

，3，0）為平面AFC的一法向量，
∴cos＜

m

，

BD

＞=

2×3

5 × 12

=

15

5

．
∵二面角E-AF-C為銳角，
∴所求二面角的余弦值為

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便利用已知條件得到空間的線面關(guān)系，并且便于建立坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)運(yùn)算解決空間角等問題．