Question

6．已知在數(shù)列{a_n}中，設(shè)a₁為首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)任意的正整數(shù)m，n都有不等式S_2m+S_2n＜2S_m+n（m≠n）恒成立，且2S₆＜S₃．
（1）設(shè)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且公差為d，求$\frac{{a}_{1}}dzx9plt$的取值范圍；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且公比為q（q＞0且q≠1），求a₁•q的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件，由于數(shù)列是等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，建立不等式，進(jìn)一步求出相應(yīng)的結(jié)果；
（2）根據(jù)已知條件，由于數(shù)列是等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，建立不等式，進(jìn)一步求出相應(yīng)的結(jié)果．

解答 解：（1）在數(shù)列{a_n}中，設(shè)a₁為首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為S_n，
若對(duì)任意的正整數(shù)m、n都有不等式S_2m+S_2n＜2S_m+n（m≠n）恒成立，
設(shè){a_n}為等差數(shù)列，且公差為d，
則：2ma₁+$\frac{2m（2m-1）}{2}$d+2na₁+$\frac{2n（2n-1）}{2}$d＜2[（m+n）a₁+$\frac{（m+n）（m+n-1）}{2}$d]，
整理得：（m-n）²d＜0，則d＜0，
由2S₆＞S₃，整理得：9a₁+27d＞0，
則a₁＞-3d
所以d＜0，$\frac{{a}_{1}}hnbn1dv$＜-3；
（2）在數(shù)列{a_n}中，設(shè)a₁為首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為S_n，
若對(duì)任意的正整數(shù)m、n都有不等式S_2m+S_2n＜2S_m+n（m≠n）恒成立，
設(shè){a_n}為等比數(shù)列，且公比為q（q＞0且q≠1），
則$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2m}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$＜$\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{m+n}）}{1-q}$，
整理得$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（2q^m+n-q^2m-q²ⁿ）＜0，
則：-$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（q^m-qⁿ）²＜0，
所以$\frac{{a}_{1}}{1-q}$＞0，
由2S₆＞S₃
則：2q⁶-q³-1＜0
解得：-$\frac{1}{2}$＜q³＜1，
由于q＞0，所以：0＜q＜1
則：a₁＞0．
即有a₁q＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，和相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題．屬于中等題．