Question

【題目】已知函數(shù)f(x)=(x-3)ex+ax,aR

(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程；

(2)當(dāng)a[0,e)時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)在(1,+)上的最小值為g(a),求函數(shù)g(a)的值域．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算 ，求出切線方程即可；（2）設(shè) ，得到 在 上有唯一零點(diǎn)， 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 ，從而求出的值域即可.

試題解析: 由題意得,

(Ⅰ)當(dāng)時(shí), ,所以,

又因?yàn)?/span>,

則所求的切線方程為,即．

（Ⅱ）設(shè),則對(duì)于成立,

所以在上是增函數(shù),又因?yàn)?/span>,則, ,

所以在上有唯一零點(diǎn)（）．

則函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

因此當(dāng)時(shí),函數(shù)在上的最小值為．

因?yàn)?/span>,則,當(dāng)時(shí),有．

所以函數(shù)有最小值,

令（）,

則在上恒成立,所以在上單調(diào)遞減,

因?yàn)?/span>, ,所以的值域?yàn)?/span>,

所以的值域?yàn)?/span>．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.