Question

【題目】已知函數(shù)（， ），（），且在點處的切線方程為.

（Ⅰ）求， 的值；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極值點，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)（）為兩曲線（），的交點，且兩曲線在交點處的切線分別為， .若取，試判斷當直線， 與軸圍成等腰三角形時值的個數(shù)并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）或.（3）， 能與軸圍成等腰三角形時， 值的個數(shù)有2個.

【解析】試題分析：

(1)利用導函數(shù)與切線的關(guān)系可得， .

(2)構(gòu)造函數(shù)；結(jié)合導函數(shù)的性質(zhì)分類討論可得的取值范圍是或.

(3) 設(shè)兩切線， 的傾斜角分別為， ，分類討論可得， 能與軸圍成等腰三角形時， 值的個數(shù)有2個.

試題解析：

解：（Ⅰ） ， ，又， ， .

（Ⅱ）；

由得， 或.

，當且僅當或時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極值點.

若，即，當時；當時，函數(shù)有極大值點，

若，即，當時；當時，函數(shù)有極大值點，

綜上， 的取值范圍是或.

（Ⅲ）當時，設(shè)兩切線， 的傾斜角分別為， ，

則， ， ， ， 均為銳角，

當，即時，若直線， 能與軸圍成等腰三角形，則；

當，即時，若直線， 能與軸圍成等腰三角形，則.

由得， ，得，

即，此方程有唯一解 ， ， 能與軸圍成一個等腰三角形.

由得， ，得，即，

設(shè)， ，

當時， ， 在單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞增，

由于，且，所以，則，

即方程在有唯一解，直線， 能與軸圍成一個等腰三角形.

因此，當時，有兩處符合題意，所以， 能與軸圍成等腰三角形時， 值的個數(shù)有2個.