【題目】若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足： 和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．

（1）求的極值；

（2）函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 取極小值，其極小值為（2）函數(shù)和存在唯一的隔離直線

【解析】試題分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）和φ（x）的解析式，求出函數(shù)F（x）的解析式，根據(jù)求導(dǎo)公式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求極值；（2）由（1）可知，函數(shù)f（x）和φ（x）的圖象在（，e）處相交，即f（x）和φ（x）若存在隔離直線，那么該直線必過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y-e=k（x-），即y=kx-k+e，根據(jù)隔離直線的定義，構(gòu)造方程，可求出k值，進(jìn)而得到隔離直線方程

試題解析：（1） ，

．

當(dāng)時(shí)， ．當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)遞增；

∴當(dāng)時(shí)， 取極小值，其極小值為．

（2）解法一：由（1）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，因此若存在和的隔離直線，則該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)．

設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．

由，可得當(dāng)時(shí)恒成立．

，

由，得．

下面證明當(dāng)時(shí)恒成立．

令，則，

當(dāng)時(shí)， ．

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)遞增；

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)遞減；

∴當(dāng)時(shí)， 取極大值，其極大值為．

從而，即恒成立.

∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．

解法二：由（Ⅰ）可知當(dāng)時(shí)， （當(dāng)且當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．

若存在和的隔離直線，則存在實(shí)常數(shù)和，使得和恒成立，令，則且

，即．后面解題步驟同解法一．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ,其中 (為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性,并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè),若函數(shù)對(duì)任意都成立,求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知對(duì)任意平面向量 =（x，y），把 繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角得到的向量 =（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ得到點(diǎn)P．
（1）已知平面內(nèi)點(diǎn)A（2，3），點(diǎn)B（2+2 ，1）．把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 角得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）設(shè)平面內(nèi)曲線C上的每一點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 后得到的點(diǎn)的軌跡方程是曲線y= ，求原來(lái)曲線C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0， ）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱中心．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，其中角B的大小為 ，則cosA+sinC的取值范圍為 ．

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【題目】已知函數(shù)．

（1）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，若在上有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，求的取值范圍，并判斷極值的正負(fù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（且）

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，函數(shù)，

①若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②證明：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求的值．

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