Question

已知△ABC，

AB

=(cos

3x

2

，-sin

3x

2

)，

AC

=(cos

x

2

，sin

x

2

)，其中x∈(0，

π

2

)．
（Ⅰ）求|

BC

|和△ABC的邊BC上的高h(yuǎn)；
（Ⅱ）若函數(shù)f(x)=|

BC

|2+λ•h的最大值是5，求常數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量模的定義求出|

BC

|，|

AC

|，|

AB

|，結(jié)合圖象求出BC邊上的高；
（2）借助換元法把函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)g（t），結(jié)合二次函數(shù)的圖象確定當(dāng)t=

λ

8

即λ=4時，函數(shù)f（x）的最大值為5．

解答：解：（Ⅰ）∵

AB

=(cos

3x

2

，-sin

3x

2

)，

AC

=(cos

x

2

，sin

x

2

)，∴|

AB

|=|

AC

|=1
∴|

BC

|=

( AC - AB )2

=

AC 2-2 AC • AB + AB 2

=

2-2(cos 3x 2 cos x 2 +(-sin 3x 2 )sin x 2 )

=

2-2(cos 3x 2 cos x 2 -sin 3x 2 sin x 2 )

=

2-2cos2x

=

2-2(1-2sin2x)

=

4sin2x

=2|sinx|
∵x∈(0，

π

2

)，∴sinx∈（0，1），∴|

BC

|=2sinx．
∵|

AB

|=|

AC

|=1，△ABC是等腰三角形，
∴h=

|AB|2-( 1 2 | BC |)2

=cosx
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=|

BC

|2+λh=4sin2x+λcosx=4（1-cos²x）+λcosx=-4cos²x+λcosx+4
令t=cosx，∵x∈(0，

π

2

)，∴t∈（0，1）
則 f(x)=g(t)=-4t2+λt+4=-4(t-

λ

8

)2+

λ2

16

+4
結(jié)合函數(shù)g（t）的圖象可知
當(dāng)

λ

8

≤0或

λ

8

≥1，即λ≤0或λ≥8時，函數(shù)g（t）無最值．
當(dāng)0＜

λ

8

＜1，即0＜λ＜8時，f（x）_max=g(t)max=g(

λ

8

)=-4×(

λ

8

)2+λ×

λ

8

+4=5
解得λ=4或λ=-4（舍）
故λ=4時，函數(shù)f（x）的最大值為5．

點(diǎn)評：本題考查了向量模的概念及求法、兩角和的余弦、同角的三角函數(shù)關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生等價轉(zhuǎn)換及分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)解題能力．