Question

如圖，在棱長為l的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為CC₁中點(diǎn)．
（1）求二面角A₁-BD-M的大�。�
（2）求四面體A₁-BDM的體積？

Answer 1

分析：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為l，取BD中點(diǎn)為O，連接OM，OA₁．
說明∠A₁OM為=兩角A₁-BD-M的平面角，在△A₁OM中，由勾股定理求出二面角A₁-BD-M的大��；
（2）由（1）可知A₁O⊥面BDM，直接求出四面體A₁-BDM體積．

解答：解：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為l，取BD中點(diǎn)為O，連接OM，OA₁．
∵BM=DM=

5

2

，A₁B=A₁D=

2

從而A₁O⊥BD，MO⊥BD
∴∠A₁OM為=兩角A₁-BD-M的平面角
在△A₁OM中，OM=

BM2-OB2

=

3

2

，A1O=

A1B2-OB2

=

6

2

而A1M=

A1 C 2 1 -C1M2

=

3

2

從而由勾股定理可知：∠A₁OM=90°（6分）
（2）由（1）可知A₁O⊥面BDM，從而四面體A₁-BDM體積
V=

1

3

•S△BDM•A1O=

1

3

(

1

2

•

2

•

3

2

)•

6

2

=

1

4

（12分）

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查二面角的求法，幾何體的體積的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，找出二面角的平面角是解題的關(guān)鍵．