Question

（文）已知

a

=2（cosωx，cosωx），

b

=（cosωx，

3

sinωx）（其中0＜ω＜1），函數(shù)f（x）=

a

•

b

，若直線x=

π

3

是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸．
（Ⅰ）試求ω的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=f（x）的圖象的各點的橫坐標伸長到原來的2倍，然后再向左平移

2π

3

個單位長度得到，求y=g（x）在[-

π

2

，

3π

2

]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換求得函數(shù)f（x）=

a

•

b

=2sin（2ωx+

π

6

）+1．再根據(jù)直線x=

π

3

是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，可得sin（2ω×

π

3

+

π

6

）=±1，再結合0＜ω＜1，可得ω 的值．
（Ⅱ）由以上可得f（x）=2sin（x+

π

6

）+1，再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）=2cos

1

2

x+1，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求得=g（x）在[-

π

2

，

3π

2

]上的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得函數(shù)f（x）=

a

•

b

=2cos²ωx+2

3

sinωxcosωx=cos2ωx+

3

sin2ωx+1=2sin（2ωx+

π

6

）+1．
再根據(jù)直線x=

π

3

是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，可得sin（2ω×

π

3

+

π

6

）=±1，
∴2ω×

π

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，即ω=

3k+1

2

．
再結合0＜ω＜1，可得ω=

1

2

．
（Ⅱ）由以上可得，f（x）=2sin（x+

π

6

）+1，由y=f（x）的圖象的各點的橫坐標伸長到原來的2倍，可得函數(shù)y=2sin（

1

2

x+

π

6

）+1的圖象；
然后再向左平移

2π

3

個單位長度得到函數(shù)y=2sin[

1

2

（x+

2π

3

）+

π

6

]+1=2cos

1

2

x+1 的圖象，
故g（x）=2cos

1

2

x+1．
令2kπ-π≤

1

2

x≤2kπ，求得4kπ-2π≤x≤4kπ，故g（x）的增區(qū)間為[4kπ-2π，4kπ]，k∈z．
令2kπ≤

1

2

x≤2kπ+π，求得4kπ≤x≤4kπ+2π，故g（x）的減區(qū)間為[4kπ，4kπ+2π]，k∈z．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的對稱性、單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎題．