Question

已知sinθ+cosθ=

1

5

，θ∈（0，π），求下列各式的值．
（1）sinθ-cosθ； 
（2）tanθ；
（3）

cosθ-sinθ

cosθ+sinθ

+

cosθ+sinθ

cosθ-sinθ

．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：計(jì)算題

分析：（1）將已知等式兩邊平方，利用完全平方公式展開，求出2sinθcosθ的值，再利用完全平方公式求出sinθ-cosθ的值；
（2）聯(lián)立求出sinθ與cosθ的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出tanθ的值；
（3）原式利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡(jiǎn)，將tanθ的值代入計(jì)算即可求出值．

解答： 解：（1）將sinθ+cosθ=

1

5

，兩邊平方得：（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=

1

25

，即2sinθcosθ=-

24

25

＜0，
∴（sinθ-cosθ）²=1-2sinθcosθ=

49

25

，
∵θ∈（0，π），
∴sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ-cosθ＞0，
則sinθ-cosθ=

7

5

；
（2）聯(lián)立得：

sinθ+cosθ= 1 5 sinθ-cosθ= 7 5

，
解得：sinθ=

4

5

，cosθ=-

3

5

，
則tanθ=-

4

3

；
（3）∵tanθ=-

4

3

，
∴原式=

1-tanθ

1+tanθ

+

1+tanθ

1-tanθ

=

1+ 4 3

1- 4 3

+

1- 4 3

1+ 4 3

=-7

1

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．