Question

已知△A₁B₁C₁的三個(gè)內(nèi)角的余弦值與△A₂B₂C₂的三個(gè)內(nèi)角的正弦值分別對(duì)應(yīng)相等，試判斷△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂的形狀，并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法,三角形的形狀判斷

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),推理和證明

分析：利用已知條件判斷△A₁B₁C₁是銳角三角形，排除△A₂B₂C₂是直角三角形以及是銳角三角形，即可得到結(jié)果．

解答： 解：△A₁B₁C₁是銳角三角形△A₂B₂C₂是鈍角三角形．
證明：由題意可知：

cosA1=sinA2＞0 cosB1=sinB2＞0 cosC1=sinC2＞0

，
可證得A₁，B₁，C₁均為銳角，
∴△A₁B₁C₁為銳角三角形-----------------------4’
∵A1，B1，C1∈(0，

π

2

)，
∴cosA₁，cosB₁，cosC₁∈（0，1）
∴sinA₂，sinB₂，sinC₂∈（0，1）
∴A2，B2，C2≠

π

2

∴△A₂B₂C₂不可能是直角三角形-----------------6’
假設(shè)△A₂B₂C₂是銳角三角形，
則cosA1=sinA2=cos(

π

2

-A2)，cosB1=sinB2=cos(

π

2

-B2)cosC1=sinC2=cos(

π

2

-C2)
∵A₂，B₂，C₂均為銳角，∴

π

2

-A2，

π

2

-B2，

π

2

-C2也為銳角
又∵A₁，B₁，C₁均為銳角，∴A1=

π

2

-A2，B1=

π

2

-B2，C1=

π

2

-C2
三式相加得π=

π

2

，顯然不成立
∴假設(shè)不成立，△A₂B₂C₂不是銳角三角形
綜上，△A₂B₂C₂是鈍角三角形．--------------------------12’

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的形狀的判斷以及證明，反證法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力．