Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，求證：..

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析．

【解析】

（1）由題意的定義域為，求導得，由題意比較與的大小，分類討論即可求出函數(shù)的單調(diào)性；

（2）由題意，，令，則，令，則，再結(jié)合導數(shù)依次求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，由此可證．

解：（1）由題意的定義域為，

，

①若，由得，，解得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

②若，由，得，或，

當時，，則在上單調(diào)遞增；

當時，由得，，解得，由，得，或，則在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；

當時，由得，，解得，由，得，或，則在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；

綜上：當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當時，在上單調(diào)遞增；

當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；

當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；

（2）由題意，，

令，則，

令，則，

，

，則在上單調(diào)遞增，，

∴，在上單調(diào)遞增，，

，而，

，

．