已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a＞0，b∈R），方程f（x）=x有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2．
（Ⅰ）如果x1＜2＜x2＜4，設(shè)函數(shù)f（x）的對稱軸為x=x0，求證x0＞-1；
（Ⅱ）如果0＜x1＜2，且f（x）=x的兩實(shí)根相差為2，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
分析：（Ⅰ）有x1＜2＜x2＜4轉(zhuǎn)化為g（x）=f（x）-x=0有兩根：一根在2與4之間，另一根在2的左邊，利用一元二次方程根的分布可證．
（Ⅱ）先有a＞0，知兩根同號，在分兩根均為正和兩根均為負(fù)兩種情況來討論．再利用兩根之和與兩根之積和|x2-x1|=2來求b的取值范圍．
解答：精英家教網(wǎng)解：（Ⅰ）設(shè)g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1，
∵a＞0，
∴由條件x1＜2＜x2＜4，
得g（2）＜0，g（4）＞0．即
4a+2b-1＜0
16a+4b-3＞0

由可行域可得
b
a
＜2，∴x0=-
b
2a
＞-1．
（Ⅱ）由題設(shè)令g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1=0，知x1x2=
1
a
＞0，故x1與x2同號．
0＜x1＜2，則x2-x1=2（負(fù)根舍去），
∴x2=x1+2＞2．
∴
g(2)＜0
g(4)＞0
，即
4a+2b-1＜0     ①
16a+4b-3＞0    ②
①×4-②得4b-1＜0，∴b＜
1
4

綜上，b的取值范圍為b＜
1
4
．
點(diǎn)評：利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍問題，通常有兩種解法：一種是利用方程中根與系數(shù)的關(guān)系或利用函數(shù)思想結(jié)合圖象求解．二種是構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)分別作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解．此類題目也體現(xiàn)了函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合的思想
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且滿足f（2）=0，求實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)（0，1），且與x軸有唯一的交點(diǎn)（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)是（-1，2），且經(jīng)過原點(diǎn)，求f（x）的解析式．

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