Question

已知函數(shù)f（x）=

-x3+x2+bx+c(x＜1) alnx  (x≥1)

的圖象過點(diǎn)（-1，2），且在x=

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處取得極值．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-1，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

-x3+x2+bx+c(x＜1) alnx  (x≥1)

的圖象過點(diǎn)（-1，2），可把（-1，2）點(diǎn)坐標(biāo)代入，得到一個(gè)關(guān)于b，c的等式，再因?yàn)楹瘮?shù)在x=

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處取得極值，所以函數(shù)在x=

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處的導(dǎo)數(shù)為0，由此又得到一個(gè)關(guān)于b，c的等式，兩個(gè)等式聯(lián)立，就可解出b，c．
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求最大值，因?yàn)閒（x）為分段函數(shù)，所以可按x的范圍，分段求導(dǎo)數(shù)，找到極大值，再比較區(qū)間
[-1，e]上的極大值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小，找到最大值．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x＜1時(shí)，f^′（x）=-3x²+2x+b，
由題意得：

f(-1)=2 f′( 2 3 )=0

，即

2-b+c=2 -3× 4 9 + 4 3 +b=0

，
解得：b=c=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=

-x3+x2+bx+c(x＜1) alnx  (x≥1)

①當(dāng)-1≤x＜1時(shí)，f^′（x）=-x（3x-2），
解f^′（x）＞0得0＜x＜

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；解f^′（x）＜0得-1＜x＜0或

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＜x＜1
∴f（x）在（-1，0）和(

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，1)上單減，在（0，

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）上單增，
由f^′（x）=-x（3x-2）=0得：x=0或x=

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，
∵f（-1）=2，f（

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）=

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．f（0）=0，f（1）=0，
∴f（x）在[-1，1）上的最大值為2．
②當(dāng)1≤x≤e時(shí)，f′（x）=alnx，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≤0；
當(dāng)a＞時(shí)，f（x）在[1，e]單調(diào)遞增；
∴f（x）在[1，e]上的最大值為a．
∴當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）在[-1，e]上的最大值為a； 
當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）在[-1，e]上的最大值為2．

點(diǎn)評：本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求極值，最值，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，為高考必考內(nèi)容．