Question

3．今年來(lái)，網(wǎng)上購(gòu)物已經(jīng)成為人們消費(fèi)的一種趨勢(shì)，假設(shè)某網(wǎng)上商城的某種商品每月的銷售量y（單位：千件）與銷售價(jià)格x（單位：元/件）滿足關(guān)系式：y=$\frac{m}{x-1}$+4（x-6）²，其中1＜x＜6，m為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為4元/件時(shí)，每月可售出20千件．
（1）求m的值；
（2）假設(shè)每件商品的進(jìn)價(jià)為1元，試確定銷售價(jià)格x的值，使該商城每月銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．（結(jié)果保留一位小數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）把x=4，y=20代入關(guān)系式y(tǒng)=$\frac{m}{x-1}$+4（x-6）²，解方程即可解出m；
（2）利用可得每月銷售飾品所獲得的利潤(rùn)f（x）=（x-1）[$\frac{12}{x-1}$+4（x-6）²]，利用導(dǎo)數(shù)研究其定義域上的單調(diào)性與極值最值即可得出．

解答 解：（1）∵x=4時(shí)，y=20，
代入關(guān)系式y(tǒng)=$\frac{m}{x-1}$+4（x-6）²，得$\frac{m}{3}$+4×2²=20，
解得m=12．
（2）由（1）可知，飾品每月的銷售量y=$\frac{12}{x-1}$+4（x-6）²，
∴每月銷售飾品所獲得的利潤(rùn)
f（x）=（x-1）[$\frac{12}{x-1}$+4（x-6）²]=4（x³-13x²+48x）-132，（1＜x＜6），
從而 f′（x）=4（3x²-26x+48）=4（3x-8）（x-6），（1＜x＜6），
令f′（x）=0，得x=$\frac{8}{3}$，且在1＜x＜$\frac{8}{3}$上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
在$\frac{8}{3}$＜x＜6上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴x=$\frac{8}{3}$是函數(shù)f（x）在（1，6）內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，
∴當(dāng)x=$\frac{8}{3}$≈2.7時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值．
即銷售價(jià)格為2.7元/件時(shí)，該店每月銷售飾品所獲得的利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，求函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．