Question

已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別為AB、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：MN⊥CD；
（3）若∠PDA=45°，求證：MN⊥面PDC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AC，取其中點(diǎn)為Q，由已條件推導(dǎo)出面QMN∥面PAD，由此能證明MN∥面PAD．
（2）由AB⊥PA，得AB垂直于QN，從而AB⊥QM，進(jìn)而AB⊥面QMN，由此能證明MN⊥CD．
（3）取PD中點(diǎn)R，由已知條件推導(dǎo)出四邊形RAMN是平行四邊形，由此能證明MN⊥面PCD．

解答： 證明：（1）連接AC，取其中點(diǎn)為Q．
在三角形PAC中，QN∥PA，
在三角形ABC中，MQ∥BC∥AD，
∴面QMN∥面PAD，又MN?平面QMN，
∴MN∥面PAD．
（2）∵AB⊥PA，∴AB垂直于QN，
∵QM∥BC，∴AB⊥QM，
∴AB⊥面QMN，
∴AB⊥MN，MN⊥CD．
（3）取PD中點(diǎn)R，∵CD⊥面PAD，∴AR⊥CD
等腰直角三角形PAD中，AR⊥PD，
∴AR⊥面PCD，
又∵NR

∥

.

1

2

DC

∥

.

1

2

AB=AM，
∴四邊形RAMN是平行四邊形，∴AR∥MN，
∴MN⊥面PCD．

點(diǎn)評：本題考查MN∥平面PAD的證明，考查MN⊥CD的證明，考查MN⊥面PDC的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．