Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為6
（1）求常數(shù)m的值及函數(shù)f（x）圖象的對稱中心；
（2）作函數(shù)f（x）關(guān)于y軸的對稱圖象得函數(shù)f₁（x）的圖象，再把函數(shù)f₁（x）的圖象向右平移

π

4

個單位得函數(shù)f₂（x）的圖象，求函數(shù)f₂（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式，通過函數(shù)f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為6，求出m的值．即可求出函數(shù)的對稱中心．
（2）求出函數(shù)f₁（x）的表達(dá)式，再把函數(shù)f₁（x）的圖象向右平移

π

4

個單位得函數(shù)f₂（x）的圖象對應(yīng)的表達(dá)式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求函數(shù)f₂（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m=

3

sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+

π

6

）+1+m，函數(shù)f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為6，所以m=3，函數(shù)的表達(dá)式為f（x）=2sin（2x+

π

6

）+4；它的對稱中心為（

kπ

2

-

π

12

，0），k∈Z．
（2）函數(shù)f（x）關(guān)于y軸的對稱圖象得函數(shù)f₁（x）=2sin（-2x+

π

6

）+4的圖象，函數(shù)f₁（x）的圖象向右平移

π

4

個單位得函數(shù)f₂（x）=2sin（-2x+

π

2

+

π

6

）+4=2cos（2x-

π

6

）+4的圖象；
函數(shù)f₂（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+π，kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

  k∈Z．

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查函數(shù)的最值，對稱中心的求法，函數(shù)圖象的變換，考查計(jì)算能力．