【題目】已知橢圓,拋物線的焦點(diǎn)均在軸上, 的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn),從每條曲線上各取兩個點(diǎn),其坐標(biāo)分別是, ,

(1)求, 的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)是否存在直線滿足條件:①過的焦點(diǎn);②與交于不同的兩點(diǎn)且滿足?若存在,求出直線方程;若不存在,請說明理由.

【答案】(Ⅰ)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ; 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ;(Ⅱ)見解析.

【解析】試題分析:(1)設(shè)拋物線,則有,據(jù)此驗(yàn)證四個點(diǎn)即可求解(2)首先假設(shè)存在直線滿足條件,利用向量垂直時求出直線參數(shù)k即得結(jié)論

試題解析:

(Ⅰ)設(shè)拋物線,則有,

據(jù)此驗(yàn)證四個點(diǎn)知, 在拋物線上,

易得,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

設(shè)橢圓,把點(diǎn), 代入可得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(Ⅱ)由橢圓的對稱性可設(shè)的焦點(diǎn)為F(1,0),

當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為

直線l交橢圓于點(diǎn)

,不滿足題意

當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為, 并設(shè)

,消去y得, ,

于是

①,

將①代入②式,得,解得

所以存在直線l滿足條件,且l的方程為

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B. ,
C. ,g(x)=x+2
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