Question

下列命題：
①數列{a_n}為遞減的等差數列且a₁+a₅=0，設數列{a_n}的前n項和為S_n，則當n=4時，S_n取得最大值；
②設函數f（x）=x²+bx+c，則x₀滿足關于方程2x+b=0的充要條件是對任意x∈R均有f（x）≥f（x₀）；
③在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，直線BC₁與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為

10

5

；
④定義在R上的函數y=f（x）滿足f（5+x）=f（-x）且(x-

5

2

)f/（x）＞0，已知x₁＜x₂，則f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的充要條件．
其中正確命題的序號是

 

（把所有正確命題的序號都寫上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,簡易邏輯

分析：根據等差數列的性質、數列的單調性判斷出①不正確；根據二次函數的性質判斷出②正確；由題意和線面角的定義判斷出③正確；由函數的對稱性、導數與函數的單調性的關系判斷出④正確．

解答： 解：對①，由等差數列的性質和a₁+a₅=2a₃=0，得a₃=0，
又數列{a_n}單調遞減，所以當n=2或n=3時，S_n取得最大值，則①不正確；
對②，當x₀=-

b

2

時，函數f（x）=x²+bx+c取最小值，即f（x）≥f（-

b

2

），
由2x+b=0得，x=-

b

2

，即x₀=-

b

2

，故條件充分，
反之也成立，故必要，則②正確；
對③，于連結A₁C₁，設A₁C₁∩B₁D₁=O，連結OB
由已知得C₁O⊥面BB₁D₁D，∴∠C₁BO為所求角，
在Rt△C₁OB中，得sin∠C1BO=

10

5

，③正確；
對④，∵f（5+x）=f（-x），所以函數f（x）關于x=

5

2

對稱
∵（x-

5

2

）f′（x）＞0，
∴x＞

5

2

時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當x＜

5

2

時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x₁＜x₂時，若f（x₁）＞f（x₂）則有x₁＜x₂＜5-x₁，∴x₁+x₂＜5成立，故條件充分，
當x₁+x₂＜5時，必有x₂＜5-x₁成立，又因為x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂）成立，故必要，
f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的充要條件，則④正確，
故答案為：②③④．

點評：本題考查了命題的真假性判斷，充要性的判斷，涉及的知識點多，綜合性強，難度大．