Question

在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AB∥平面DEG；
（2）求異面直線BD與CF所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）利用線面平行的判定；（2）向量法．

解答： （1）證明：∵AD∥EF，EF∥BC，
∴AD∥BC．
又∵BC=2AD，G是BC的中點(diǎn)，
∴AD∥GB，AD=GB，
∴四邊形ADGB是平行四邊形，
∴AB∥DG．
∵AB?平面DGE，DG?平面DEG，
∴AB∥平面DEG…7分
（2）解：∵EF⊥面AEB，AE?面AEB，BE?面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB∴EB，EF，EA兩兩垂直，
以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，EF，EA分別為
x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得，B（2，0，0），D（0，2，2），C（2，4，0），F(xiàn)（0，3，0），…8分

BD

=（2，0，0），

CF

=（-2，-1，0），∴cos＜

BD

，

CF

＞=

4-2

2 3 × 5

=

15

15

，
∴異面直線BD與CF所成角的余弦值

15

15

…14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的判定，考查異面直線所成角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．