如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AB=BC,∠PBC=90°,D為AC的中點,AB⊥PD.
(Ⅰ)求證:平面PAB⊥平面ABC
(Ⅱ)如果三棱錐P-BCD的體積為3,求PA.
考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定
專題:計算題,空間位置關系與距離
分析:(Ⅰ)利用面面垂直的判定,證明OD⊥平面PAB,從而平面PAB⊥平面ABC;
(Ⅱ)利用三棱錐的體積公式,得到PA長度的方程,求解即可.
解答: 解:(Ⅰ)取AB中點為O,連結(jié)OD,OP.
因為PA=PB,所以AB⊥OP.
又AB⊥PD,OP∩PD=P,所以AB⊥平面POD,
因為OD?平面POD,所以AB⊥OD.…(3分)
由已知,BC⊥PB,又OD∥BC,所以OD⊥PB,
因為AB∩PB=B,所以OD⊥平面PAB.
又OD?平面ABC,所以平面PAB⊥平面ABC.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,OP⊥平面ABC.
設PA=a,因為D為AC的中點,所以
VP-BCD=
1
2
VP-ABC=
1
2
×
1
3
×
1
2
a2×
3
2
a=
3
24
a3,…(10分)
3
24
a3=3解得a=2
3
,即PA=2
3
.…(12分)
點評:本題以考查面面垂直、三棱錐體積計算,考查空間想象能力和計算能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量
m
=(1,2),
n
=(cos2A,cos2
A
2
),且
m
n
=1.
(1)求角A的大;
(2)若b+c=2a=2
3
,求證:△ABC為等邊三角形.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,
2Sn
n
=an+1-
1
3
n2-n-
2
3
,n∈N*
(Ⅰ) 求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ) 證明:對一切正整數(shù)n,有
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
7
4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知等差數(shù)列{an}滿足a2=5,a5+a6+a7=39.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=
4
(an-1)(an+1)
 (n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,ABEDFC為多面體,平面ABED與平面ACFD垂直,點O在線段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODF,△ODE都是正三角形.
(1)證明:直線BC∥平面EFD;
(2)求異面直線OC與EF所成的角的余弦值;
(3)求二面角C-EF-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某大學生利用暑假40天社會實踐參與了一家網(wǎng)店經(jīng)營,了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關信息如下表所示:
銷售量P(件)p=50-x
銷售單價q(元/件)當1≤x≤20時,q=30+
1
2
x;
當21≤x≤40時,q=20+
525
x
(1)請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件?
(2)求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關于x的函數(shù)關系式;
(3)這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大?最大利潤是多少?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在如圖的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點.
(1)求證:AB∥平面DEG;
(2)求異面直線BD與CF所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

等差數(shù)列{an}中,a10=12,a25=-18,Sn表示前n項和,求:
(1)求Sn;
(2)求Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的表達式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=
x
x+2
(x>0),定義f1(x)=f(x)=
x
x+2
,當n∈N+且n≥2時,fn+1(x)=f[fn(x)](n為正整數(shù)),則f3(x)=
 
;fn(x)=
 

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