Question

7．已知函數(shù)h（x）是定義在（-4，4）上的奇函數(shù)，且x∈（0，4）時(shí)，h（x）=-log₂x．
（1）求h（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈（-4，0）時(shí)，不等式[h（x）+2]²＞h（x）m-1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用對(duì)稱性進(jìn)行求解即可．
（2）利用參數(shù)分離法進(jìn)行分解，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可．

解答 解：（1）若x∈（-4，0），則-x∈（0，4），
∵x∈（0，4）時(shí)，h（x）=-log₂x
∴當(dāng)-x∈（0，4）時(shí)，h（-x）=-log₂（-x），
∵h(yuǎn)（x）是定義在（-4，4）上的奇函數(shù)，
∴h（-x）=-log₂（-x）=-h（x），
即h（x）=log₂（-x），x∈（-4，0），
則h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lo{g}_{2}x，}&{x∈（0，4）}\\{0}&{0}\\{l0{g}_{2}（-x），}&{x∈（-4，0）}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)x∈（-4，0）時(shí)，h（x）=log₂（-x），
若不等式[h（x）+2]²＞h（x）m-1
即不等式h²（x）+4h（x）+4＞h（x）m-1，
即h²（x）+4h（x）+5＞h（x）m，
若x∈（-4，-1）時(shí)，h（x）=log₂（-x）∈（0，2），
則不等式等價(jià)為m＜$\frac{{h}^{2}（x）+4h（x）+5}{h（x）}$=h（x）+$\frac{5}{h（x）}$+4，
∵當(dāng)若x∈（-4，-1）時(shí)，h（x）=log₂（-x）＞0，
∴則y=h（x）+$\frac{5}{h（x）}$+2則（0，2）上為減函數(shù)，
則 y＞2+$\frac{5}{2}$+4=$\frac{17}{2}$，
則m≤$\frac{17}{2}$，
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，h（x）=log₂（-x）＜0，
則不等式等價(jià)為m＞$\frac{{h}^{2}（x）+2h（x）+5}{h（x）}$=h（x）+$\frac{5}{h（x）}$+2，
∵h(yuǎn)（x）+$\frac{5}{h（x）}$+2≤-2$\sqrt{（-h（x））•\frac{5}{-h（x）}}$+2=2-2$\sqrt{5}$
∴此時(shí)m≥2-2$\sqrt{5}$，
綜上實(shí)數(shù)m的取值范圍是
（2-2$\sqrt{5}$，$\frac{17}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及不等式恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法是解決本題的關(guān)鍵．