Question

17．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且對于任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），又x＞1時(shí)，f（x）＞0．
（1）判斷f（x）的奇偶性性并加以證明．
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

解答 解：（1）f（x）是偶函數(shù)，令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
令x=y=-1，則f（1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1），
則f（-1）=0，
令y=-1，∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（-x）=f（x）+f（-1），
∵f（-1）=0，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；
（2）f（x）在（0，+∞）上的是增函數(shù)，
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，則$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞1$，
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
∴$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=f（{x}_{2}?\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）-f（{x}_{2}）$=$f（{x}_{2}）+f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）-f（{x}_{2}）=f（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）＞0$，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的是增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法．結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．