Question

4．觀察下列等式：

照以上式子規(guī)律：
（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式，并猜想第n個(gè)等式； （n∈N^*）
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第n個(gè)等式成立．（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）通過(guò)前4個(gè)表達(dá)式，直接寫(xiě)出第5個(gè)等式，并猜想第n個(gè)等式；（n∈N^*）
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟，直接證明上述所猜想的第n個(gè)等式成立．（n∈N^*）

解答 解：（1）第5個(gè)等式為：5+6+7+8+9+10+11+12+13=9²…（2分）
第n個(gè)等式為：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²，n∈N^*…（5分）
（2）①當(dāng)n=1時(shí)，等式左邊=1，等式右邊=（2-1）²=1，所以等式成立．…（6分）
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）²（k≥1，k∈N^*）
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，（k+1）+（k+2）+（k+3）+…+（3k+1）=k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）-k=（2k-1）²+8k=[2（k+1）-1）²，
即n=k+1時(shí)等式成立．…（11分）
根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任何n∈N^*，等式都成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立，注意證明步驟的應(yīng)用，缺一不可．