Question

過雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右頂點作x軸的垂線與C的一條漸近線相交于A．若以C的右焦點為圓心、半徑為2的圓經過A、O兩點（O為坐標原點），則雙曲線C的方程為（　�。�

• A、x2-

  y2

  3

  =1
• B、x2-

  y2

  4

  =1
• C、

  x2

  4

  -

  y2

  12

  =1
• D、

  x2

  12

  -

  y2

  4

  =1

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出雙曲線的右頂點和右焦點以及漸近線方程，可得A，再由圓的性質可得|AF|=|OF|=c=2，解方程可得a，b，進而得到雙曲線方程．

解答： 解：雙曲線的右頂點為（a，0），右焦點F為（c，0），
由x=a和一條漸近線y=

b

a

x，可得A（a，b），
以C的右焦點為圓心、半徑為2的圓經過A、O兩點（O為坐標原點），
則|AF|=|OF|=c=2，
即有

(a-c)2+b2

=2，
c²=a²+b²=4，
解得a=1，b=

3

，
即有雙曲線的方程為x²-

y2

3

=1，
故選A．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，考查漸近線方程的運用和圓的性質，考查運算能力，屬于基礎題．