Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)為（0，

3

），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率e=

1

2

，過橢圓右焦點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若AB是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)O的弦，MN∥AB，求證：

|AB|2

|MN|

為定值．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的頂點(diǎn)為（0，

3

）和e=

c

a

=

1

2

，能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）分情況討論：斜率不存在，l的方程為x=1，|MN|=3，|AB|=2

3

，

|AB|2

|MN|

=4．若直線斜率存在，則設(shè)直線l方程為y=k（x-1），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=

12(k2+1)

3+4k2

．|AB|=

1+k2

|x₃-x₄|，由此能證明

|AB|2

|MN|

=4為定值．

解答：解：（1）橢圓的頂點(diǎn)為（0，

3

），即b=

3

，
e=

c

a

=

1

2

，所以a=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1        …（4分）
（2）斜率不存在，l的方程為x=1，|MN|=3，|AB|=2

3

，

|AB|2

|MN|

=4．
若直線斜率存在，則設(shè)直線l方程為y=k（x-1），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由（2）可得：|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

12(k2+1)

3+4k2

．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx

消去y，并整理得x²=

12

3+4k2

，
|AB|=

1+k2

|x₃-x₄|=4

3(1+k2)

3+4k2

，
∴

|AB|2

|MN|

=4為定值．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．