Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把x=0代入函數(shù)f（x）的解析式中求出f（0）的值，確定出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用求導(dǎo)法則求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=0代入導(dǎo)函數(shù)中求出f′（0）的值即為切線的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出切線方程即可；
（Ⅱ）先求出f（x）的定義域，然后領(lǐng)導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，利用x的值分a大于1，a大于0小于1和a=1三種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到函數(shù)的極大值和極小值．
解答：解：（Ⅰ）f（0）=1，，（2分）
f′（0）=0，所以函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=1；（14分）
（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），
令f'（x）=0，得，
解得：x=0，x=a-1，（15分）
當(dāng)a＞1時(shí)，列表：

x	（-1，0）		（0，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f′（x）	+		-		+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

可知f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，a-1），增區(qū)間是（-1，0）∪（a-1，+∞）；
極大值為f（0）=1，極小值為；（8分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，列表：

x	（-1，a-1）	a-1	（a-1，0）		（0，+∞）
f′（x）	+		-		+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

可知f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（a-1，0），增區(qū)間是（-1，a-1）∪（0，+∞）；
極大值為，極小值為f（0）=1（11分）
當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）≥0，可知函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單增，無極值．（13分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間且根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是一道中檔題．學(xué)生做第二問時(shí)注意求出函數(shù)的定義域．